SISTEMI DINAMICI E GEOMETRIA FRATTALE

INTRODUZIONE

La scienza ha sempre assunto i caratteri di coloro che incessantemente e con lo spirito di chi piace leggere il libro della Natura attraverso occhi attenti a tutti i suoi fenomeni, hanno profuso passione, talento e (anche) avuto fortuna. Non necessariamente con grandi o piccoli risultati, canonicamente intesi nella loro accezione positiva. Anche gli errori infatti, costituiscono fonte di ricerca e quindi, nel contesto di una valutazione globale, assumono una valenza degna di attenzione e di riflessione. La teoria dei sistemi dinamici e del caos, alla quale indirettamente poi la geometria frattale si relazione, non sfugge alle brevi considerazioni sopra esposte. Fortunatamente, giacché la storia della loro evoluzione, del loro sviluppo, è sintomatica dei mutevoli caratteri umani: cangianti, modaioli, improvvisi eppur affascinanti come la qualità dei suoi innumerevoli risultati. Rinfrescare perciò gli aspetti storici è un buon punto di partenza per introdurre la teoria dei sistemi dinamici e per poi muoversi verso gli orizzonti frattali.Incominceremo con un breve salto di 25 anni nel passato. L’interesse verso i sistemi dinamici occupa un ruolo degno di rispetto, ma comunque di modesto seguito nella comunità scientifica (matematica, fisica, …) mondiale. I suoi risultati, seppur congrui e notevolissimi se paragonati agli esordi di 100 anni prima, sono stati conseguiti da pochi e isolati talenti scientifici a cavallo tra XIX° e XX° secolo. E’ notevole dunque l’assenza di un largo seguito di ricercatori. Ancora una volta, insisto qui più sugli aspetti sociologici di una teoria scientifica e non sulla qualità dei suoi risultati. In questa fase introduttiva, il primo punto é largamente più importante del secondo, il quale sarà in seguito discusso con le dovute attenzioni. Se i sistemi dinamici sono riusciti a uscire dal guscio, spesso gelosamente costruito dagli stessi scienziati, del mondo scientifico, se anche noi ci ritroviamo qui a discuterne, è opportuno valutare come sono giunti sino a noi.Le riviste in edicola, i siti web in Internet, hanno sicuramente contribuito ad estenderne ed a rafforzarne l’interesse. L’azione dei veicoli informativi è estremamente importante: crea l’humus dal quale nasceranno nuovi interessi, nuove personalità che si auspica, potranno investire il proprio talento per il progresso scientifico.

NON-LINEARITÀ

La Matematica è movimento, La Scienza è inventiva, fantasia, furbizia, immaginazione, creatività. Benché i programmi ministeriali per l’insegnamento della Matematica stiano migliorando, dimostrato dalla presenza di nuovi testi scolastici, la cui didattica si fonda su concetti di più ampio respiro (topologia, teoria degli insiemi applicata alla geometria analitica) e sulla rivisitazione della storia della Matematica, è ancora molto diffusa l’opinione che questa disciplina sia noiosa e che consista solo in freddi calcoli e di numeri che “vanno e vengono”. Sembra quasi paradossale, malgrado gli studenti siano sempre faccia a faccia con problemi di qualsiasi tipo, che richiedono spesso soluzioni argute, ove la fantasia è lungamente richiesta. Evidentemente, in molte situazioni , è assente una lettura, appropriata e opportuna, delle metodologie applicate. È vero: spesso sembra che tutto consista solo nel fare un’addizione, poi una moltiplicazione, estrarre una radice quadrata e via con il risultato finale. E chi lo nega ?!Uno dei concetti più interessanti da cui partire per una opinione più reale e veritiera consiste nell’ esaminare il concetto di limite di una funzione. In alcuni casi, è utile conoscere il dominio della funzione, l’esistenza eventuale di singolarità (cioè dei valori ove la funzione assume dei comportamenti, inusuali rispetto al resto di tutti gli altri valori restanti) e l’andamento (per esempio, la monotonia crescente o decrescente, la periodicità, …). L’operatore limite consente di interpretare più coerentemente l’andamento della funzione data. Ê come se da un punto di partenza arbitrario, incominciassimo un viaggio verso la meta: un valore ordinario o anche verso una singolarità, a seconda della questione in corso, sino a giungere ad un limite e capire sia cosa succede in quel preciso valore, sia (soprattutto) nelle sue vicinanze. L’ operatore limite diventa allora un artificio, creato dai matematici, per condurre uno studio più qualitativo; esso si dimostrerà prolifico e di grande utilità giacché, per mezzo suo, ulteriori concetti, come la derivata ed integrale, permetteranno la scoperta di idee più avanzate sulle quali si basano tanti traguardi del nostro progresso tecnologico.Quest’atto creativo (dell’operatore limite) è uno dei grandi segni, e forse il primo, di una matematica “in movimento”, non più “statica”, ossia concepita come se fosse un processo “inserisci-i-dati-ed-ecco-fuori-il-risultato”. Mediante il limite, si parte per esplorare, come se fossimo su un’ automobile.Un altro modello molto potente di “automobile matematica” è il metodo iterativo, concetto alla base della comprensione dei sistemi dinamici. Il metodo iterativo è definito non-lineare. La “linearità” di un’applicazione (cioè di un operazione eseguita su un sistema, per esempio, una funzione matematica e comunque una qualsiasi azione, volta a mutare lo stato del sistema) indica che il prossimo stato del sistema non sarà influenzato dallo stato precedente. Negare allora la linearità implica che ogni valore immediatamente precedente produrrà quello successivo. Riassumento, potremmo scrivere che:f (xn) ® xn+1dove f é l’applicazione, xn ed xn+1 sono i due stati del sistema immediatamente successivi. La teoria dei sistemi dinamici ha l’obiettivo di studiare l’andamento degli stati (valori) successivi di un sistema e, come branca della matematica e della fisica (entrambe le discipline si compenetrano qui, secondo i loro campi di ricerca), scoprire quali sono gli invarianti: cioè l’insieme di leggi, oggetti, valori che non cambiano anche al variare delle condizioni iniziali del sistema preso in esame. I sistemi dinamici sono presenti tanto in matematica che in fisica; gli impieghi sono diversi; la loro scoperta risale addirittura agli studi degli antichi Sumeri, 4000 anni fa, per il loro algoritmo di computazione della radice quadrata di un numero arbitrario, basato sul metodo iterativo. Negli ultimi 3 secoli, i sistemi dinamici si sono più largamente imposti sia molte discipline differenti, a riprova che il corpus di nozioni scientifiche è dimostrato essere quanto mai sino ad ora unito ed unico, cosicché Fisica, Chimica, Matematica, Botanica, Scienze Sociali, Biologia sono visioni interessate a esaltare determinati aspetti della Natura. In Botanica, i sistemi dinamici sono stati utilizzati per studiare le modalità di crescita delle piante. In Fisica, sono state studiate le dinamiche interattive tra i corpi celesti (uno dei primi ardui problemi fu quello dei “tre corpi”: lo studio delle orbite di 3 pianeti che esercitano reciproca attrazione) e quindi dei pianeti nel nostro sistema solare o dei Fluidi. Inoltre i sistemi dinamici sono stati impiegati negli ultimi 50 anni nella Meteorologia, cioè nella predizione, non a lunga scadenza ma solo nell’arco di pochi giorni, del tempo atmosferico.In Chimica, gli studi sulle dinamiche delle reazioni tra diverse sostanze.Le Scienze Sociali e la Biologia hanno esaminato le dinamiche di comportamento degli esseri umani e degli animali, con particolare attenzione alle tendenze, agli andamenti di questi comportamenti nei sistemi sociali e naturali. La Matematica, nelle discipline di Analisi e Geometria, hanno studiato i sistemi dinamici correlati alle iterazioni di funzioni in determinati campi numerici, con particolare attenzione ai metodi numeri ci per risolvere le equazioni; si noti che tali metodi, la cui convenienza è rilevantissima, sono stati inventati grazie alle applicazioni, da parte dello stesso Newton, del concetto di derivata. Qui entrano in gioco, gli insiemi di Julia e le geometrie frattali.

I FRATTALI

Negli ultimi 150 anni, la geometria, intesa come studio delle proprietà delle forme di qualsiasi spazio ad un numero arbitrario di dimensioni, ha attraversato dei momenti lunghi e difficili: ora periodi di lassismo e di disinteresse, ora periodi di grande entusiasmo. Per certi versi, la geometria è stata spesso denigrata da alcune generazioni di ricercatori, favorevoli ad uno studio massiccio dell’analisi che, con i suoi caratteri più astratti, sembra davvero accordarsi prettamente con ideali diversi, giudicati più nobili e confacenti alla disciplina matematica stessa. Tuttavia (fortunatamente) il suo sviluppo non si è mai definitivamente arrestato, ma ha visto anche nell’ opera di pochi, isolati e notevoli progressi che hanno contribuito ad espandere i propri orizzonti (Klein, Poincaré) e a ridiscuterne i fondamenti (Riemann, Lobacevskji, Bolyai), a volte anche con importanti implicazioni filosofiche sulla realtà visibile e sulla percezione dello spazio. La scoperta di oggetti geometrici con nuove strane proprietà, spaventose, secondo i giudizi dell’epoca, a causa di caratteristiche che sfidano ancor oggi il senso comune, scatenò dubbi e perplessità nella comunità matematica, anche dopo il riconoscimento della loro esistenza, complice anche lo svilimento della geometria stessa. Tali studi caddero nel dimenticatoio per decine anni però, quando invece avrebbero avuto bisogno di più ampi sviluppi e soprattutto di una seguente assiomatizzazione. Mandelbrot e altri eminenti studiosi di geometria, denominarono una buona classe di tali formidabili oggetti geometrici come “frattali”. Mandelbrot coniò questo termine, prendendo in prestito il verbo latino “frangere”, da cui il participio “fractus”, che significa “rompere”, “dividere”. Come riconoscere un frattale ? Ogni oggetto frattale gode di due proprietà: autosomiglianza e rapporto costante con le sue parti ai diversi livelli successivi di ingrandimento. Esaminiamo queste due proprietà. La prima è quella più evidente e facile da scoprire: l’autosomiglianza. Significa che le parti di un frattale sono “topologicamente equivalenti” alla struttura intera originale, all’ insieme che le contiene. L’equivalenza topologica significa che le “parti” presentano le medesime caratteristiche di forma, aspetto, distribuzione spaziale dell’ oggetto “intero”. A primo acchito, questa affermazione sembra essere logicamente paradossale. Infatti, ci si può naturalmente chiedere: - “come può essere un oggetto uguale ad una sua parte ?” - . Innanzitutto, in geometria, quando ci si riferisce all’ “equivalenza”, non si parla di “uguaglianza” (come appare nella domanda provocatoria di cui sopra), ma più propriamente di “similitudine”, ossia quando un oggetto coincide con un altro oggetto mediante una “trasformazione elementare” del primo (traslazione, rotazione, ingrandimento e rimpicciolimento). Definito ciò, il concetto di autosomiglianza appare già più semplice. Gli esempi geometrici possono essere tanti, ma la prossimo esempio, il Sierpinsky Gasket, sembra il più diretto ed immediato. Si consideri allora un triangolo equilatero e i punti medi dei suoi 3 lati. Si uniscano poi questi 3 punti con altrettanti segmenti. Si considerino ora i 4 triangoli risultanti. E, in questo gruppo di 4, se ne tengano in conto solo i 3 triangoli con lo stesso orientamento del triangolo originale e si ripeta il processo, dei punti medi e dei segmenti, per ognuno di questi 3 triangoli, come se quest’ultimo fosse il nuovo triangolo di partenza.
Ripetendo questo processo per un numero infinito di volte, si ottiene il Sierpinsky Gasket. I nuovi triangoli sono ancora equilateri e il rapporto tra un qualsiasi processo n+ 1 ed un altro n+ 2 è sempre uguale al rapporto tra il processo con n + 2 e n + 3. Il principio di autosomiglianza è rispettai ed anche quello di rapporto costante. Il Sierpinsky Gasket è dunque un primo esempio, per noi, di oggetto frattale.

DETERMINAZIONE IMPREVEDIBILE

La teoria dei sistemi dinamici include un altro concetto, il cui fascino è anche dimostrato dal perifrasi che gli scienziati hanno adottato per mezzo di due termini di significato antitetico: come è possibile che ciò che è determinato sia anche imprevedibile ?Un altro metodo per generare il Sierpinsky Gasket è il seguente. Siano dati i vertici di un triangolo equilatero e poi se ne consideri solo uno; attraverso un qualsiasi sistema di generazione di numeri casuali, si ottengano sempre i valori 1, 2 o 3, associati rispettivamente ad ognuno degli stessi 3 vertici del triangolo originale di partenza. Ottenuto il vertice, in modo casuale, si consideri il punto medio M1 tra i vertice risultante ed un arbitrario punto di partenza. Si iteri allora i processo (cioè considerando il punto ottenuto come il nuovo punto di partenza): l’insieme, di tutti i punti ottenuti lungo questo metodo, genererà nuovamente il Sierpinsky Gasket. Questo frattale viene classificato come “Attrattore”. L’attrattore è l’insieme dei valori limite di tutte le orbite possibili, cioè di tutte le possibili sequenze di valori/stati assunti dal sistema mediante l’applicazione del metodo iterativo al sistema stesso. In molti tipi di sistemi dinamici, tutte o quasi le possibili orbite convergono verso stati limite, ossia verso dei valori che determinano la stabilità del sistema: una volta che al valore limite sia stato assunto dal sistema, tutti i successivi valori del sistema stesso saranno uguali a questo valore limite.Si è visto che un processo, basato su leggi di determinazione dei valori in modo casuale, produce un oggetto dalle chiare e distinte geometrie, senza che le leggi di distribuzione dei punti, secondo la forma del Sierpinsky Gasket siano violate: i nuovi punti vanno a distribuirsi nelle regioni degli infiniti (ed infinitesimali) segmenti di questo frattale. Dunque, é come se una forza misteriosa guidasse con raziocinio questo processo. È se fosse solo un’apparente interpretazione, dettata dalla nostra abitudine a gestire oggetti semplici, a confondere inizialmente un po’ le idee ? Se esistesse un livello di interpretazione dei fenomeni naturali, della Natura, dell’ universo e che fosse più profondo ed in cui risistemare coerentemente simili fenomeni ?

CONDIZIONI & DIPENDENZA

Il corpus della teoria dei sistemi dinamici è intimamente collegato a due concetti: caos e dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali. Il termine caos e così l’aggettivo caotico sono intesi, canonicamente dagli scienziati, come peculiari di orbite con movimenti che presentano errori durante la loro manifestazione, cosicché è impossibile formulare una legge che si rigorosamente deterministica e prevedere qualsiasi comportamento a lunga scadenza. Alcuni sistemi dinamici sono davvero interessanti poiché caos e non-caos sono ugualmente presenti a seconda delle condizioni iniziali. Molti ricercatori amano qui studiare la fase di transizione verso il caos, cioè quella immaginaria linea di demarcazione ove il sistema dinamico incomincia a perdere il suoi connotati non-caotici, cioè la tendenza alla stabilità, e si inserisce in una nuova sequenza di eventi a comportamento caotico e quindi instabile. Le immagini seguenti mostrano un esperimento condotto, mediante un computer, sul seguente sistema dinamico, basato sull’ iterazione della funzione:xn+1 = axn (1 - xn )Ove il parametro a varia nel sotto-intervallo dei numeri razionali positivi. I punti, all’ interno delle immagini, sono stati disegnati dopo la fase di warm-up, cioè dopo la fase in cui il sistema può essere ancora influenzato dalla scelta del valore iniziale. Più questo valore di warm-up è alto, più si è sicuri di aver tralasciato questa fase iniziale e considerare quindi quella che è la tendenza del sistema, tracciando tutti i successivi valori iterati.
Tecnicamente, ciò implica di tralasciare alcuni (vanno bene 100 qui) passi del sistema e disegnare sullo schermo tutti i successivi. Si può notare allora che per dei valori di a il sistema è stabile perché tende ad un unico valore (stabilità). Per altri valori di a, fuori dal precedente intervallo, il valori smettono di convergere e si distribuiscono casualmente (regime caotico). In questa fase di transizione, gli scienziati hanno scoperto che benché vi sia la presenza di errori, tipici e sintomatici del caos, essi sono così marginali che il sistema dinamico non ha perso completamente il suo carattere di imprevedibilità (i valori iterati sono ancora distribuiti lungo un intervallo finito). Nell’economia del caos, allora si insedia il chiaro concetto di “dipendenza sensibile dalle condizioni iniziali”. Qui il valore di tali condizioni può produrre, nei riguardi dello stesso tipo di sistema dinamico, un comportamento caotico o non caotico.

FRATTALI E NATURA

Ci sono molte manifestazioni della Natura (piante, fenomeni atmosferici, …) che possono essere re-interpretate attraverso descrizioni matematiche, basate sull’applicazione dei sistemi dinamici.La stessa geometria frattale può essere riscoperti in tanti casi e, anche se, in generale, essa non funziona ovunque in Natura con esattezza, molte delle forme e dei fenomeni naturali possono essere compresi con straordinaria lucidità e semplicità. Un esempio in Natura ? La superficie dei cavolfiori. Una sua applicazione ? La misurazione delle coste o, ancor di più, la meteorologia.Gli sforzi scientifici di Lindenmayer e di Prusinkiewicz hanno quanto mai provato la strettissima relazione tra la teoria dei sistemi dinamici e dei frattali con il processo di crescita (filotassi) delle piante, degli alberi e degli organismi cellulari.Sembra oggi che le antiche aspirazioni di Pitagora, la spiegazione della Natura e sua comprensione (sebbene, essa avesse, per l’illustre scienziato greco, connotazioni molto sacralizzate) attraverso le leggi della Matematica e i rapporti tra gli oggetti, sia oggi evoluta e realizzatasi in una nuova interpretazione più attendibile e verace della Realtà, così come noi la percepiamo, mediante i sistemi dinamici.

INSIEMI DI JULIA

Lungo il XIX° e il XX° secolo, in Francia, Germania ed Italia, l’ Analisi corre davvero molto: in poche decine di anni grandi progressi sono realizzati dagli studiosi dell’ epoca. Ma la Geometria non sta a guardare e, seppur con un modesto seguito, essa evolve così tanto che persino i presupposti euclidei sono rimessi gravemente in discussione e visioni più ampie generano nuove concezioni, per le quali l’antica interpretazione euclidea diviene ora una visione parziale e la conseguenza di premesse arbitrarie; dunque essa non è l’unica plausibile, degna di coerenza e legittimità scientifica. Al lato di queste scoperte, nascerà una nuova scienza: la Topologia, il cui obiettivo è lo studio degli spazi (anche astratti) e trovarne gli invarianti assoluti, cioè tutto ciò che non varia anche quando questi spazi sono oggetto di deformazioni continue. Per esempio, la Topologia studia cosa non varia lungo la trasformazione di un quadrato in un cerchio. Questa nuova branca di Matematica e Geometria diventa così l’astrazione più estrema degli studi geometrici.La sua funzione si rivelerà di incommensurabile valore poiché a prescindere dagli intrinseci risultati scientifici, la Topologia sarà il collante tra tante branche della Matematica, Geometria e Fisica: teoria dei numeri, analisi classica, analisi non-standard, geometria, sistemi dinamici, analisi complessa, equazioni differenziali. L’universo matematico è molto più ingarbugliato di quanto le definizioni delle sue branche lascino trasparire. La ricchezza di nuove nozioni, concetti, ipotesi ha sempre più avvicinato tanti studi di cui sino ad allora non si sospettava neanche lontanamente una seppur esile relazione. A parte questo riconoscimento iniziale, è più utile sottolineare che molte questioni, originariamente ostiche dal punto di vista dell’Analisi, per esempio, potevano essere più facilmente re-interpretate e risolte da una visione geometrica. Guardiamo al metodo di Newton ed alla sua storia: la teoria dei gruppi di Galois ne aveva consacrato l’estrema importanza poiché essa prova che non esistono metodi globali per risolvere le equazioni di grado superiore al quarto, cioè non esistono formule da dedurre dall’equazione data e con grado > 4, per trovare le soluzioni, i valori dell’ incognita ove l’equazione, nella sua forma canonica, si annulla (è uguale a zero). Ma come fare allora a risolvere tante equazioni superiori che spesso compaiono in tante ricerche e problemi ?Il metodo di Newton non garantisce la risoluzione immediata dell’ equazione data, ma solo attraverso un numero finito di passaggi. Il metodo è iterativo perché, dato un valore di partenza, è possibile giungere sino ad una delle molteplici soluzioni dell’equazione mediante una sequenza finita di valori, dove ognuno genera il successivo quando inserito nella formula, generata propriamente dal metodo di Newton applicato all’ equazione da risolvere. Molti ricercatori sperimentarono che questo metodo empirico, esso infatti non si basa su una teoria a priori ma su tentativi, può condurre a differenti soluzioni a seconda del valore iniziale scelto e che può presentare dei comportamenti anomali per determinati valori. Il problema del metodo di Newton consiste nel determinare, dato l’insieme di tutti i valori iniziali possibile (generalmente, l’intero insieme numeri in cui si opera), quali e quante sono le regioni dei possibili valori iniziali che conducono alla medesima soluzione. Questo problema, ritornato nuovamente alla ribalta a cavallo tra l’800 e il 900 tra i matematici europei, francesi soprattutto, venne risolto brillantemente e quasi completamente dagli sforzi di Gaston Julia e di Pierre Fatou.
Apparve chiaro che la questione non poteva più essere interpretata solamente in chiave analitica, ma che una soluzione efficace poté trovare luogo con l’integrazione di strumenti presi in prestito da Geometria, Topologia, teoria degli insiemi, teoria dei numeri e dei sistemi dinamici. I matematici francesi si dedicarono ad esaminare il problema nel campo dei numeri complessi, un insieme che gode della proprietà di essere continuo, non enumerabile. Essi mostrarono che le regioni dei valori iniziali (di cui sopra) sono delimitate da altri insiemi di valori iniziali per cui il metodo di Newton non converge verso alcuna soluzione. Gli studi focalizzarono la loro attenzione inizialmente sulla natura e sulla distribuzione di tali insiemi di non-convergenza, giacché la soluzione avrebbe implicato anche la conoscenza della distribuzione spaziale delle regioni di convergenza; fu dimostrato infatti che le regioni di non-convergenza sono invarianti (come già detto prima, la scoperta di simili oggetti è uno dei primi obiettivi della ricerca matematica).
La natura geometrica di questi insiemi è molteplice, a seconda del sistema dinamico esaminato: essi possono consistere in più punti distanti tra loro (DISCONNESSO), in linee continue (CONNESSO) o, se questo insieme ha una superficie, esso coincide con tutto il campo numerico (SUPERFICIALE). Le loro geometrie possono essere molto complesse e ai confini dell’ immaginazione, così come esse sfidarono quelle che era il buon senso geometrico dei primi ricercatori che, a cavallo tra gli ultimi due secoli, affrontarono come dei pionieri lo studio di questi nuovi paesaggi matematici. In tutti casi la natura, di queste linee di confine tra le regioni di convergenza, è frattale.Essi sono gli insiemi di Julia.

Alessandro Rosa (Libero Ricercatore)

Questo documento è stato presentato alla Seconda Serata Monotematica indetta dalla Sezione Ufologica Taranto nel mese di giugno 2002. La riunione che ha avuto grande successo, si è tenuta presso Palazzo Galeota, Assessorato Cultura di Taranto.